线性方程组求解——克莱姆法则的解释

数学

n维空间中，n阶线性方程组 $Ax = b$ 表示交于点$x$的n个n-1维超平面。易证$x$有唯一解(即$x=A^{-1}b$)当且仅当$A$可逆。

该方程可以齐次形式表示为：

$\begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} & a_{1,n+1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,n} & a_{n,n+1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_{1} \\ \vdots \\ z_{n} \\ z_{n+1} \end{pmatrix} = 0,a_{i,n+1} = -b_{i},x_i=\frac{z_i}{z_{n+1}}$

若$A$可逆，则$A$的各行线性无关，故增广矩阵的各行也线性无关。这n个超平面张起了过$x$的一个超平面簇（类比二维情况下的线簇）。任何过点$x$的n-1维超平面必可写成这n个超平面的线性组合：

$\begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n} & a_{n+1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_{1} \\ \vdots \\ z_{n} \\ z_{n+1} \end{pmatrix} = 0 \iff \begin{vmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n} & a_{n+1} \\ a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} & a_{1,n+1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,n} & a_{n,n+1} \end{vmatrix} = 0$

设 $ai$ 的代数余子式为 $Ai$，特别的，由$A$可逆，有

$A_{n+1} = (-1)^n det(A) \ne 0$

将此行列式以代数余子式的形式展开，有

$\begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n} & a_{n+1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{1} \\ \vdots \\ A_{n} \\ A_{n+1} \end{pmatrix} = 0$

故

$z_i = A_i, x_i = \frac{A_i}{A_{n+1}}$

为上述线性方程组的一个解，由于$det(A) \ne 0$时$x$只有一个解，故该解即为$x$的唯一解。

稍事整理即得克莱姆法则的常见形式：

$x_i = \frac{D_i}{D}, \\ D = det(A) \ne 0, \\ D_i = (-1)^{-n}A_i = (-1)^{-n+i-1}\begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} & -b_{1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n} & -b_{n} \end{vmatrix} \\ = \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & b_{1} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & b_{n} & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n} \end{vmatrix}$

最后一步是因为将第n列的$(b1,…,bn)^T$移动到第i列的位置上去需要经过$n-i$次交换。