Kalman滤波摘要

1. 测量更新方程的形式，源自两种估计的加权平均
2. 解方程即求一个K，使后验估计各维度的方差和最小
3. 一维情况下的Kalman滤波器

本文的符号体系与wikipedia词条一致

测量更新方程的形式，源自两种估计的加权平均

为估计$k$时刻的系统状态$x_{k|k}$，需要融合

1. 根据连续性得到的状态估计 $\hat{x}_{k|k-1}$
2. 由观察结果得到的状态估计 $H^{-1}z_{k}$ （事实上H未必可逆，姑且按广义的逆来思考）

在状态更新误差和观测误差均服从$N(0,\sigma^2)$的假设下，二者均为$x_{k|k}$的无偏估计，故按误差方差大小进行加权平均，应能得到最优的无偏估计：

令 $ K_k = K’_k H^{-1} $，得

解方程即求一个K，使后验估计各维度的方差和最小

来自wikipedia:kalman_filter#derivations，这里只做个摘要

最小化各维度的方差和

即是使

故^[注]

注：

$$\frac{\partial tr(AXB)}{\partial X} = \frac{\partial tr(BAX)}{\partial X} = A^T B^T$$ $$\frac{\partial tr(XAX^T)}{\partial X} = X A + X A^T$$

且协方差矩阵 $ P = P^T, R = R^T $，故

$$(H P_{k|k-1} H^T + R_k) = (H P_{k|k-1} H^T + R_k)^T$$

一维情况下的Kalman滤波器

考虑一个特殊的Kalman系统，其状态、控制量及观察值只有一维，且假定其系数均为1：

其Kalman方程为：

其更新方程可化简为

若Q, R均是定值，则稳定后$\hat{x}_{k|k-1}$和$z_k$的系数亦是定值，此时Kalman滤波便与一个加权更新器无异。

另一方面，从这个例子可以看出Kalman滤波器按方差反比融合两个信息源的特点。有更多信息源时亦可如此融合。

注： $ \frac{B}{A+B} = \frac{\frac{1}{A}}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}} $